Hallo Anita,
nachstehend eine mögliche Variante mit dem Zug. Eigene Erfahrungen kann ich nicht vorweisen:

a)Belgrad - Sid (kroatische Grenze)
b)Sid - Vinkovci
c)Vinkovci - Zagreb - Villach
d)Villach - Zürich

zu a) und b): es gibt mehrere Züge täglich mit Radmitnahme. Ob die kroatische Eisenbahn (HZPP) ab Sid fährt, weiß ich nicht. Evtl. muss man ab Sid ein Stück radeln bis zum nächsten kroatischen Bahnhof.

zu c) Der D/IC210 ab Vinkovci 8:55, an Villach 17:09 fährt über Zagreb, es gibt eine Tagesverbindung Zagreb - Zürich, die aber auch über Villach verkehrt.

Bei meinem Vorschlag ist in Vinkovci und Villach (oder Zagreb) je eine Übernachtung einzulegen. Damit ergibt sich eine Reisedauer von drei Tagen. Verglichen mit einem Flug nicht gerade attraktiv.

Es gibt eine direkte Zugverbing Belgrad - Zürich (D/EN/NJ414). Man könnte ein komplettes Abteil buchen und die Räder teilzerlegt mit ins Abteil nehmen. Gemacht habe ich so etwas noch nicht. "Hansflo" hat mit so etwas Erfahrung.
Gruß, Gerd

Nachtrag: Ich sehe erst jetzt, dass mein letzter Vorschlag schon von Thoralf gemacht wurde.